ตรรกศาสตร์ในการใช้งานคอมพิวเตอร์

ตรรกกับระบบคอมพิวเตอร์

ตรรกะ (Logic) หมายถึง เหตุผลที่ใช้ในการแก้ไขปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับการใช้คอมพิวเตอร์ความรู้ทางด้านตรรกะเป็นพื้นฐานของการทำความเข้าใจเกี่ยวกับการทำงานของคอมพิวเตอร์และการปฏิบัติงานร่วมกับคอมพิวเตอร์ เนื่องจากทั้งระบบซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์จะทำงานสัมพันธ์กับความรู้ทางด้านตรรกะ ดังนั้น ผู้ที่จะทำการเขียนโปรแกรมหรือทำงานร่วมกับระบบคอมพิวเตอร์จึงต้องทำความเข้าใจกับความรู้ทางด้านตรรกะ

ตัวดำเนินการ
ตัวดำเนินการ (Operator) คือ เครื่องหมายการกระทำที่ใช้สำหรับบอกการกระทำระหว่างตัวถูกดำเนินการ ตัวดำเนินการOperand อาจเป็นการกระทำระหว่างตัวถูกดำเนินการ 2 ตัว หรือ 1 ตัว ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการ ตัวดำเนินการในระบบคอมพิวเตอร์มีดังนี้

ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์
ตัวดำเนินการหรือเครื่องหมายการกระทำทางคณิตศาสตร์ในระบบคอมพิวเตอร์ มีตัวดำเนินการหรือเครื่องหมายการกระทำดังต่อไปนี้
+ (การบวก)

- (การลบ)

* (การคูณ)

/ (การหาร)

DIV การหารโดยคิดเฉพาะจำนวนเต็มที่ได้จากการหาร
MOD การหารโดยคิดเฉพาะเศษที่ได้จากการหาร

เครื่องหมายการกระทำทางคณิตศาสตร์ สำหรับการคูณ การหาร การหารโดยคิดเฉพาะจำนวนเต็มและการหารโดยเฉพาะเศษ ต้องใช้กับตัวถูกดำเนินการจำนวน 2 ตัวสำหรับใช้ในการกระทำ สำหรับเครื่องหมายการบวกและเครื่องหมายการลบ สามารถใช้ได้กับทั้งตัวถูกดำเนินการจำนวน 1 หรือ 2 ตัว ตัวอย่างของกรณีที่มีตัวดำเนินการจำนวน 2 ตัว เช่น 3+1 , 8-2 เป็นต้น กรณีที่ตัวถูกดำเนินการจำนวน 1 ตัว เช่น +3 ,-5 เป็นต้น ใช้ในกรณีสำหรับการบอกว่าค่านั้นเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

นิพจน์ (Expression)
นิพจน์ (Expression) คือ กลุ่มของตัวถูกดำเนินการที่นำมาทำการกระทำกัน โดยใช้ตัวดำเนินการหรือเครื่องหมายการกระทำในการเชื่อมตัวถูกดำเนินการแต่ละตัวเข้าด้วยกัน ตัวถูกดำเนินการอาจจะอยู่ในลักษณะของค่าคงที่หรือตัวแปรนิพจน์แบ่งเป็น 2ประเภท
1.นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ( Mathematics Expression)
2.นิพจน์ทางตรรกศาสตร์ ( Boolean Logical Expression )

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ( Mathematics Expression)
พจน์ทางคณิตศาสตร์ คือ นิพจน์ที่ใช้ตัวดำเนินการหรือเครื่องหมายการกระทำทางคณิตศาสตร์ เป็นตัวบอกการกระทำของตัวถูกดำเนินการ ตัวถูกดำเนินการที่ใช้ในนิพจน์คณิตสาสตร์จะเป็นข้อมูลที่เป็นตัวเลข อาจจะเป็นตัวเลขที่เป็นค่าคงที่หรือตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จากนิพจน์ทางคณิตศาสตร์จะออกมาเป็นข้อมูลตัวเลข

นิพจน์ทางตรรกศาสตร์ ( Boolean Logical Expression )
นิพจน์ทางตรรกศาสตร์ คือ นิพจน์ที่ใช้ตัวดำเนินการหรือเครื่องหมายการกระทำทางตรรกศาสตร์หรือการเปรียบเทียบ เป็นตัวบอกการกระทำของตัวถูกดำเนินการ ตัวถูกดำเนินการที่ใช้ในนิพจน์ตรรกศาสตร์ ถ้าตัวดำเนินการเป็นตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ ตัวถูกดำเนินการจะเป็นข้อมูลที่เป็นข้อมูลทางตรรกศาสตร์ ถ้าตัวดำเนินการเป็นตัวดำเนินการเปรียบเทียบตัวถูกดำเนินการจะเป็นข้อมูลที่เป็นตัวเลข โดยตัวถูกดำเนินการสามารถเป็นได้ทั้งตัวเลขและค่าคงที่ผลลัพธ์ที่ได้จากนิพจน์ทางตรรกศาสตร์จะออกมาเป็นข้อมูลทางตรรกศาสตร์ คือ เป็นจริงหรือเป็นเท็จ เท่านั้น
นิพจน์ทางตรรกศาสตร์นำมาใช้ในส่วนของซอฟต์แวร์ กรณีที่ใช้เป็นเงื่อนไขสำหรับการตัดสินใจในการทำงานว่า จะเลือกทำคำสั่งใดเป็นคำสั่งในลำดับถัดไปหรือย้อนกลับไปทำงานในคำสั่งใด

ตรรกกับซอฟต์แวร์
การนำตรรกะมาใช้กับการเขียนโปรแกรม ใช้สำหรับกรณีที่ต้องการให้การทำงานของโปรแกรมเลือกทำงานตามที่ต้องการ หรือทำงานให้เหมาะสมกับข้อมูลในขณะนั้น ข้อมูลตรรกะจะใช้เป็นเงื่อนไขที่ใช้ในการตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เพื่อนำไปใช้สำหรับเลือกลักษณะการทำงานของซอฟต์แวร์ ลักษณะการนำตรรกะไปใช้งานร่วมกับการเขียนโปรแกรมสามารถแสดงได้ดังนี้

แสดงการใช้งานนิพจน์ทางตรรกศาสตร์สำหรับการทำงานแบบเลือกทำ เป็นการนำตรรกะไปใช้ร่วม กับซอฟต์แวร์สำหรับการเลือกทำงาน โดยใช้ตรรกะเป็นเงื่อนไขที่ใช้สำหรับการตรวจสอบการเลือกทำ ถ้าผลที่ได้จากการกระทำทางตรรกะเป็นจริงจะเลือกทำงานอย่างหนึ่ง แต่ถ้าผลที่ได้จากการกระทำทางตรรกะเป็นเท็จจะเลือกทำงานในอีกลักษณะหนึ่ง

แสดงการใช้นิพจน์ทางตรรกศาสตร์สำหรับการทำงานแบบทำซ้ำ เป็นการนำตรรกะไปใช้ร่วมกับ ซอฟต์แวร์สำหรับการทำงานแบบทำซ้ำโดยใช้ตรรกะเป็นเงื่อนไขที่ใช้สำหรับการตรวจสอบการทำซ้ำ การทำงานจะมี 2 ลักษณะ คือ ทำการตรวจสอบเงื่อนไขก่อนการทำซ้ำ และอีกกรณีหนึ่ง คือ ทำการทำซ้ำก่อนแล้วจึงค่อยทำการตรวจสอบเงื่อนไข

ตรรกกับฮาร์ดแวร์
ฮาร์ดแวร์ของระบบคอมพิวเตอร์เป็นลักษณะของวงจรดิจิทัล (Digital Circuit) การทำงานของระบบดิจิทัลมีลักษณะการทำงานอยู่ 2 สถานะ คือ เปิดและปิด การทำงานจึงสัมพันธ์กับเลขฐานสอง คือ 0 และ 1 โดนแทนเลข 1 ด้วยสถานะเปิดแทนเลข 0 ด้วยสถานะปิด นอกจากนั้นยังสัมพันธ์กับทางตรรกศาสตร์ โดยเซตของคำตอบข้อมูลตรรกศาสตร์มี 2 ค่า คือ เป็นจริงและเป็นเท็จ

ตัวแปร หมายถึง ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าที่สามารถทำการเปลี่ยนแปลงได้ ค่าที่ตัวแปรสามารถเปลี่ยนแปลงได้มีเพียง 2 ค่า เท่านั้น คือ 0 และ 1

ลอจิกฟังก์ชัน หมายถึง สมการที่ใช้สำหรับแสดงการทำงานของตรรกะของตัวแปรต่าง ๆ ที่นำมากระทำกันโดยใช้เครื่องหมายการกระทำทางตรรกะ

ลอจิกเกต
ลอจิกเกตเป็นอุปกรณ์ที่ใช้ทำหน้าที่แทนตัวกระทำ ในวงจรดิจิตอล ซึ่งอาจสร้างมาจากสวิตช์ ไดโอด ทรานซิสเตอร์ มอสเฟต หรือทรานซิสเตอร์หลายๆ ตัวประกอบกันเป็นวงจรรวม(Interated Circuit : IC) ลอจิกเกตเบื้องต้นประกอบด้วย

1 . แอนด์เกต (AND GATE)
2 . ออร์เกต (OR GATE)
3 . อินเวอร์เตอร์หรือน๊อตเกต (INVERTER or NOT GATE)
4 . แนนด์เกต (NAND GATE)
5 . นอร์เกต (NOR GATE)

แอนด์เกต (AND GATE)

ลักษณะการทำงานของแอนด์เกต จำให้สัญญาณออกหรือผลลัพธ์มีค่าออกมาเป็น 1

แอนด์เกตเป็นลอจิกเกตที่เอาต์พุตจะมีสภาวะเป็นลอจิก “1” เมื่ออินพุตทุกอินพุตมีสภาวะเป็นลอจิก“1” ถ้าอินพุตใดอินพุตหนึ่งมีสภาวะเป็นลอจิก “0” เอาต์พุตก็จะมีสภาวะเป็นลอจิก “0”

สัญลักษณ์ สมการบูลีน

ตารางความจริง ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 1 แสดงคุณสมบัติของแอนด์เกต

2 ออร์เกต (OR GATE)

ลักษณะการทำงานของออร์เกต จะให้สัญญาณออกหรือผลลัพธ์มีค่าออกมาเป็น 1 เมื่อสัญญาณเข้าเพียงหนึ่งสัญญาณมีค่าเป็น 1 ถ้าสัญญาณเข้าทุกสัญญาณเป็น 0 จะให้ค่าของสัญญาณเป็น 0 หมด สัญลัษณ์และลักษณะ

ออร์เกตเป็นลอจิกเกตที่เอาต์พุตจะมีสภาวะเป็นลอจิก “1” เมื่ออินพุตใดอินพุตหนึ่งหรือทุกอินพุตมีสภาวะเป็นลอจิก “1” และเอาต์พุตของออร์เกตจะมีสภาวะเป็นลอจิก “0” เมื่อทุกอินพุตมีสภาวะเป็นลอจิก “0” เท่านั้น แสดงสัญลักษณ์ สมการบูลีน ตารางความจริง และไดอะแกรมเวลาดังรูปที่ 3

สัญลักษณ์ สมการบูลีน

ตารางความจริง ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 2 แสดงคุณสมบัติของออร์เกต

3 อินเวอร์เตอร์หรือน๊อตเกต (INVERTER or NOT GATE)

ลักษณะการทำงานของ นอตเกต จะให้สัญญาณออกหรือผลลัพธ์มีค่าออกมาเป็นค่าตรงข้ามกับสัญลักษณ์เข้าที่ส่งให้กับนอตเกต คือสัญญาณเข้าเป็น 1 ผลลัพธ์ที่ได้จะแสดงค่าเป็น 0

น๊อตเกตเป็นลอจิกเกตที่เอาต์พุตมีสภาวะลอจิกตรงข้ามกับลอจิกอินพุตนั่นคือถ้าป้อนอินพุตเป็นลอจิก“0” จะได้ลอจิก “1” ที่เอาต์พุต และถ้าป้อนลอจิก “1” ที่อินพุต ก็จะได้ลอจิก “0” ที่เอาต์พุต แสดงสัญลักษณ์ สมการบูลีน ตารางความจริง และไดอะแกรมเวลาดังรูปที่ 5

สัญลักษณ์ สมการบูลีน

ตารางความจริง ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 3 แสดงคุณสมบัติของน๊อตเกต

4 แนนด์เกต (NAND GATE)

ลักษณะการทำงานของ แนนด์เกต จะให้สัญญาณออกหรือผลลัพธ์มีค่าออกมาเป็น 0 เมื่อสัญญาณเข้าทุกสัญญาณมีค่าเป็น 1 ถ้าสัญญาณเข้าสัญญาณหนึ่งมีค่าเป็น 0 จะให้ค่าของสัญญาณทั้งหมดออกมาเป็น 0

แนนด์เกตเป็นลอจิกเกตที่เกิดจากการนำแอนด์เกตมาต่อกับอินเวอร์เตอร์เกต ดังนั้นคุณสมบัติทางลอจิกของแนนด์เกตจึงตรงกันข้ามกับแอนด์เกต แสดงสัญลักษณ์ สมการบูลีน ตารางความจริง และไดอะแกรมเวลาดังรูปที่ 7

รูปการนำแอนด์เกตมาต่อด้วยน๊อตเกต

สัญลักษณ์ สมการบูลีน

ตารางความจริง ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 4 แสดงคุณสมบัติของแนนด์เกต

5 นอร์เกต (NOR GATE)

ลักษณะการทำงานของ นอร์เกต จะให้สัญญาณหรือผลลัพธ์มีค่าออกมาเป็น 0 เมื่อสัญญาณเข้าเพียงหนึ่งสัญญาณมีค่าเป็น 1 ถ้าสัญญาณเข้าทุกสัญญาณเป็น 0 จะให้ค่าของสัญญาณออกมาเป็น 1 หมด สัญลักษณ์และลักษณะการทำงานสามารถแสดงได้ดังนี้

นอร์เกตเป็นลอจิกเกตที่เกิดจากการเอาออร์เกตต่อกับอินเวอร์เตอร์เกต ดังนั้นคุณสมบัติทางลอจิกของนอร์เกตจึงตรงกันข้ามกับออร์เกต แสดงสัญลักษณ์ สมการบูลีน ตารางความจริง และไดอะแกรมเวลา ดังรูปที่ 9

รูปการนำออร์เกตมาต่อด้วยน๊อตเกต

สัญลักษณ์ สมการบูลีน

ตารางความจริง ไดอะแกรมเวลา

รูปที่ 5 แสดงคุณสมบัติของนอร์เกต

เอกซ์ครูซีพออร์เกต(Exclusive OR Gate)

Exclusive OR Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logical 1 ก็ต่อเมื่อ Input มี Logical ต่างกัน และจะให้ Output เป็น Logical 0 ก็ต่อเมื่อ Input มี Logical เหมือนกัน เราสามารถเขียนสมการลอจิกสำหรับเอาต์พุต ตารางความจริง (Trute table) และสัญลักษณ์ของ Exclusive OR Gate ได้ดังนี้

X = A + B

สมการบูลีน

ตารางความจริง สัญลักษณ์

รูปที่ 6แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ Exclusive OR Gate

ลอจิกฟังก์ชันกับวงจรลอจิก
การเขียนการทำงานในลักษณะของลอจิกฟังก์ชัน สามารถนำเขียนเป็นวงจรลอจิกได้โดยพิจารณาจาก

การกระทำทางลอจิกภายในลอจิกฟังก์ชัน ในทางกลับกันสำหรับการเขียนลอจิกฟังก์ชันจากวงจรลอจิก

สามารถทำได้โดยพิจารณาการทำงานของลอจิกเกตแต่ละตัวในวงจรแล้วนำมาเขียนเป็นลอจิกฟังก์ชันรวมสำหรับการทำงานของวงจรลอจิก

การเขียนสมการลอจิก (LOGIC EXPRESSION)
เนื่องจากวงจรลอจิกได้ถูกนำไปใช้ในระบบสวิตลิ่งของเครื่องชุมสามโทรศัพท์แบบอัตโนมัติ และปัจจุบันวงจรลอจิกได้มีบทบาทในการรับ - ส่งข้อมูลต่างๆเราจึงจำเป็นต้องเรียนรู้การเขียน

สมการลอจิกเพื่อใช้ในการออกแบบวงจรลอจิก ซึ่งจะได้นำไปใช้ได้ตามความต้องการและมีประสิทธิภาพสูงสุด

การเขียนสมการลอจิกเต็มรูป
การเขียนสมการลอจิกก็คือการเขียนฟังก์ชั่นสวิตชิ่ง (Switching Function) ในรูปแบบการทำพื้น ฐานทางลอจิกนั้นเอง ซึ่งมีอยู่ 2 รูปแบบ คือ

- ฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ ผลบวกของเทอมผลคูณ (Canonical Sum of Product Form) หมายถึง การนำตัวแปรซึ่งอยู่ในรูปปกติและรูปคอมพลีเมนต์มา AND กัน

ซึ่งเราเรียกเทอมที่ AND กันนี้ว่า มินเทอม (Minterm) แล้วจึงนำมินเทอมแต่ละเทอมมา OR กันอีกที ดังตัวอย่าง

ฟังก์ชั่นที่มี 3 ตัวแปร คือ A, B และ C จะเขียนได้เป็น

f(A,B,C) = B +AB + BC

โดยที่ f(A,B,C) เป็นฟังก์ชั่นสวิตชิ่งของตัวแปรลอจิกA, B และ C ซึ่งค่าของฟังก์ชั่น f จะเป็นได้2 ค่า คือ 0 หรือ 1 ขึ้นอยู่กับตัวแปร A, B, C ทั้ง 3 ตัว นอกจากนี้ อาจเขียนให้อยู่ในรูปของมินเทอมได้ดังนี้

f(A,B,C) = m2+m6+m3 (m=มินเทอม)

เพื่อความสะดวกอาจเขียนได้ดังนี้

f(A,B,C) = m (2,6,3)

การเขียนสมการลอจิก (Logic expression) จากตารางความจริง (Truth table) - ฟังก์ชั่นในรูปแบบเต็มผลบวกของเทอมผลคูณ

จากตารางความจริงซึ่งเกิดขึ้นจากการทำงานของวงจรลอจิกวงจรหนึ่ง จะสังเกตเห็นว่ามีเพียง 2 แบบ จากทั้งหมด 8 แบบ ของวิธีการจัดหมู่โดย

ไม่ซ้ำกันของตัวแปรอินพุต A, B และ C ที่ให้ระดับลอจิกทางเอาต์พุต (X) เป็น "1" ซึ่งสามารถ เขียนในรูป Minterm จะได้เป็น BC

(แทนค่าตัวแปรอินพุต จะได้ .11= 1.1 .1 = 1) และ A (แทนค่าตัวแปรอินพุต จะได้ 1. = 1.1.1 = 1) แสดงสมการลอจิกทางเอาต์พุต Y ซึ่งได้จากการนำเอามินเทอมทั้งสองมารวมกันแบบ OR (ถ้ามินเทอมตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งคู่ เป็น 1 ให้เอาต์พุต Y เป็น 1 ทันที) จะได้ดังนี้

f(A,B,C) = Y = BC + A จากหลักการข้างต้น สมการลอจิกทางเอต์พุต Y ที่ได้จากตารางความจริงนั้น สามารถสรุปขึ้นตอนในการเขียนสมการเอาต์พุตได้ดังนี้

1. เขียน AND (มินเทอม) ของแต่ละกรณีของการจัดหมู่ของตัวแปรอินพุตในตารางความจริงที่มีเอาต์พุตเป็น "1"

2. แต่ละเทอม AND (มินเทอม) มีตัวแปรอินพุตอยู่ในรูปคอมพลีเมนต์หรือรูปปกติ (ถ้าตัวแปรใดเป็น 0 ตัวแปรนั้นจะมีเครื่องหมายคอมพลีเมนต์ (บาร์ = - ) อยู่บนตัวแปรนั้น)

3. นำเทอม AND (มินเทอม) ทุกเทอมมา OR กัน เพื่อให้ได้สมการลอจิกทางเอาต์พุต

สมการลอจิก Y = BC + A

รูปที่ 7 รูปแบบสมการลอจิกแบบ SP จากตารางความจริง

- ฟังก์ชั่นในรูปเต็มแบบผลคูณของเทอมผลบวก

จากตารางความจริง สามารถเขียนสมการลอจิกทางเอาต์พุต Y โดยมีขั้นตอนดังต่อไปนี้

1. เขียนเทอม OR (แมกเทอม) ของแต่ละกรณีของการจัดหมู่ของตัวแปรอินพุตในตารางความจริงที่มีเอาต์พุตเป็น "0"

2. แต่ละเทอม OR (แมกเทอม) มีตัวแปรอินพุตอยู่ในรูปคอมพลีเมนต์หรือรูปปกติ (ถ้าตัวแปร ใดเป็น 1 ตัวแปรนั้นจะมีเครื่องหมายคอมพลีเมนต์

3. นำเทอม OR (แมกเทอม)

ทุกเทอมมา AND กัน เพื่อให้ได้สมการลอจิกทางด้านเอาต์พุต

รูปที่8 รูปแบบสมการลอจิกแบบSP จากตารางความจริง

การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจิก

การเขียนสมการลอจิกหรือฟังก์ชั่นสวิตชิ่ง (Switching Function) จากวงจรลอจิกที่กำหนดให้นั้น วิธีเขียนต้องเริ่มต้นจากทางด้าน Input มาทาง Output

เรื่อยๆ ไปตามลำดับ

ดังตัวอย่างนี้จงหาสมการลอจิกทางเอาร์พุตของเกตทุกตัวจากวงจรลอจิก

การเขียนวงจรลอจิกจากสมการลอจิก

การเขียนวงจรลอจิก (logic diagram) จากสมการลอจิก (logic expression) หรือฟังก์ชั่นสวิตชิ่ง ให้ทำตามลำดับขั้นตอนดังนี้

1. ถ้าในสมการลอจิกมีวงเล็บ จะต้องทำในวงเล็บในสุดก่อน แล้วจึงจะทำวงเล็บนอก

2. สำหรับตัวกระทำเราจะทำ NOT ก่อน ตามด้วย AND ท้ายสุดจะทำ OR (ในกรณีเครื่องหมาย NOT อยู่บนเทอมที่มีการกระทำกันอีก ในกรณีนี้จะต้องทำเทอมที่อยู่ใต้เครื่องหมาย NOT ก่อน แล้วจึงจะทำ NOT) เพื่อความเข้าใจขอให้ดูตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง

จงเขียนวงจรลอจิกจากสมการลอจิกนี้

X = AB + C
วิธีทำ

- เนื่องจากไม่มีวงเล็บ เราจึงทำเทอม AND ก่อน

- เทอม AND มี 2 ชุด แต่ชุดหลังมี NOT จึงต้องทำ NOT ก่อน ได้เป็น แล้วจึงมา AND กับ C ได้เป็น C

- ทำเทอม AND ชุดแรกได้เป็น AB

- เมื่อทำ AND เสร็จแล้ว จึงมาทำ OR ก็จำนำเอาต์พุตจาก AND เกต

แต่ละชุด มา OR กัน จึงจะได้เอาต์พุต X

ดังรูป

ตรรกศาสตร์ ในการใช้งานคอมพิวเตอร์

โดย

1. นายยุทธพล มะลิลา รหัสประจำตัว 54191440226

2. นายภาสกร นามทอง รหัสประจำตัว 54191440224

3. นางสาววรรณภา กิ่งแก้ว รหัสประจำตัว 54191440232

4. นางสาวพัชรินทร์ พิมพ์น้อย รหัสประจำตัว 54191440220

5. นางสาววรนุช บุญหาญ รหัสประจำตัว 54191440231

6. นางสาวรัตนาภรณ์ คำผม รหัสประจำตัว 54191440228

7. นางสาวพณิดา อนุชาติ รหัสประจำตัว 54191440217

8. นางสาวนันท์นภัส เทพไทอำนวย รหัสประจำตัว 54191440205

โปรแกรมวิชาคอมพิวเตอร์ ระดับ คบ 5/1หมู่ 2

รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษารายวิชารายวิชาคณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์

ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2554

มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์